基于Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)及其方差分析

MCKay在文獻(xiàn)[1]中第一次提出Latin方抽樣方法，指出它是一種有效而實(shí)用的受約束小樣本采樣技術(shù)。Latin方抽樣合并了隨機(jī)抽樣和分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)，是最好的小樣本Monte Carlo模擬方法之一[2]。工程中經(jīng)常會(huì)遇到失效概率很小的情況，采用直接Monte Carlo法處理此類問題時(shí)要得到高精度的估算結(jié)果必須保證有足夠多的樣本，相應(yīng)的要付出很大的計(jì)算代價(jià)。從工程的角度看，直接Monte Carlo法抽樣中有許多模擬循環(huán)實(shí)際上是相同的，因此在考慮參數(shù)的工程意義和隨機(jī)性質(zhì)的前提下，從參數(shù)的不確定性范圍中選取參數(shù)值，其樣本無疑可以顯著減小，Latin方抽樣技術(shù)提供了這樣一個(gè)小樣本的約束采樣方案[3]，它比直接Monte Carlo法有效[4]。

本章首先采用Latin方抽樣方法對小失效概率結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，得到無偏的、更穩(wěn)定的可靠性試驗(yàn)靈敏度估算結(jié)果。在Latin方抽樣的基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[5]引入統(tǒng)計(jì)相關(guān)的減小方程，以減小Latin方抽樣過程中排列矩陣各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，稱之為修正的Latin方抽樣法。采用修正的Latin方抽樣法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，能夠進(jìn)一步減小可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值方差的分散性。Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣方法對基本變量的分布形式和相關(guān)性等均無限定，是一種廣泛適用于結(jié)構(gòu)可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的小樣本抽樣方法。另外，本章還給出了單模式和多模式的數(shù)值及工程算例，以比較直接Monte Carlo、Latin方抽樣以及修正的Latin方抽樣三種不同方法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析時(shí)的抽樣效率和估算精度。

 基于Latin方抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度及其方差分析

結(jié)構(gòu)的可靠性試驗(yàn)靈敏度定義為失效概率對基本變量分布參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。其Monte Carlo估計(jì)值及其方差分析已經(jīng)在第2.1節(jié)中進(jìn)行了詳細(xì)的說明。

為采用數(shù)字模擬的方法求解可靠性試驗(yàn)靈敏度，可引入任意抽樣密度函數(shù)抽取個(gè)樣本點(diǎn)，然后用樣本函數(shù)均值來估計(jì)可靠性試驗(yàn)靈敏度：

運(yùn)用Monte Carlo法，采用式估計(jì)可靠性試驗(yàn)靈敏度的顯著缺點(diǎn)是效率太低，從工程角度來看，有許多模擬循環(huán)實(shí)際上是相同的。而在考慮參數(shù)的工程意義和隨機(jī)性質(zhì)的前提下，從參數(shù)的不確定性范圍中選取參數(shù)值，其樣本無疑可以顯著減小，Latin方抽樣技術(shù)提供這樣一個(gè)小樣本的約束采樣方案[3]。

采用Latin方抽樣方法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析時(shí)，首先按照Latin方抽樣的約束方案產(chǎn)生個(gè)樣本點(diǎn)，然后將這些樣本點(diǎn)代入式即可得到可靠性試驗(yàn)靈敏度的估計(jì)值。

下面介紹Latin方抽樣產(chǎn)生受約束樣本點(diǎn)的方法。

用已知的累積分布函數(shù)描述每一個(gè)輸入變量，并將第個(gè)輸入變量的累積分布函數(shù)的范圍分成個(gè)非搭接的區(qū)間，每個(gè)區(qū)間由概率表征，如式所示。

并且

在等概率區(qū)間的情況下，取。

在抽樣過程中，區(qū)間由代表性參數(shù)代表，代表性參數(shù)可以有兩種選取方法，一是在區(qū)間中隨機(jī)選取，一是在區(qū)間質(zhì)心處選取。

對于隨機(jī)選取的情況，首先在區(qū)間內(nèi)生成個(gè)隨機(jī)數(shù)，運(yùn)用式將隨機(jī)數(shù)變換為第個(gè)區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)

顯然有式成立

其中和是第個(gè)區(qū)間的下界和上界。因此，每個(gè)區(qū)間上僅生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)，求得約束隨機(jī)數(shù)后即可求得相應(yīng)的隨機(jī)變量的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)如下

其中表示第個(gè)輸入變量的逆累積分布函數(shù)。

對于在區(qū)間質(zhì)心處選取代表性參數(shù)的情況，第個(gè)區(qū)間的代表性參數(shù)可以按照式所示的形式選取。

表示第個(gè)輸入變量的第個(gè)模擬的區(qū)間秩數(shù)。

應(yīng)該注意的是，抽樣過程中區(qū)間的選取是隨機(jī)的。每個(gè)輸入變量的個(gè)觀測值與一個(gè)隨機(jī)排列的整數(shù)序列相聯(lián)系，這個(gè)整數(shù)序列就是上面提到的區(qū)間秩數(shù)，它是整數(shù)的隨機(jī)排列，并且要求這些排列是相互獨(dú)立的。對于每個(gè)變量的次模擬都將有一個(gè)的隨機(jī)排列的整數(shù)序列，若將個(gè)變量的隨機(jī)排列的整數(shù)矩陣記為，那么對于個(gè)變量的次模擬，矩陣有行列。由此可以知道第次抽樣對應(yīng)的各變量的區(qū)間秩數(shù)就由矩陣中的第行元素代表，也就是說，矩陣是獲得隨機(jī)輸入樣本的抽樣策略。

按照上述的抽樣過程產(chǎn)生樣本后，采用式可以估算可靠性試驗(yàn)靈敏度，將所產(chǎn)生的樣本分別代入式、和式、可以得到可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的方差和變異系數(shù)。用上述Latin方抽樣產(chǎn)生的樣本進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析, 可以得到可靠性試驗(yàn)靈敏度的無偏估計(jì)[6]。