基于修正的Latin方抽樣的可靠性試驗靈敏度分析

上述抽樣過程中矩陣是隨機產生的，其各列間難免會引入一定的統計相關，自然會影響到可靠性試驗靈敏度估計值的偏度和方差。

隨機排列的整數矩陣各列間的統計相關由排列相關矩陣描述，矩陣中的元素是的第列和第列間的Spearman系數，其定義為[7]

其中是兩個樣本排列的序差，為樣本容量。顯然是一個維的對稱矩陣，并且中各列間不存在統計相關時是一個單位陣。

修正的Latin方抽樣采用統計相關的減小方程, 使得上面提到的統計相關問題得到改善。修正的Latin方抽樣與Latin方抽樣具有相同的理論背景，對Latin方抽樣的使用范圍和要求等沒有任何改變，可以廣泛應用到結構可靠性試驗分析和可靠性試驗靈敏度分析過程中。

Latin方抽樣產生隨機排列的整數矩陣（區間秩數矩陣）后，由排列相關矩陣描述各列間的統計相關，矩陣的各個元素按照式產生。假設是一個下三角矩陣，且滿足下面的關系式

其中表示的轉置，矩陣可以由式得到。

其中是一個下三角矩陣，滿足

考慮到的實現過程，是正定矩陣，所以可以對進行Cholesky分解容易得到矩陣，進而可得。最后采用下面的轉換公式可以得到一個的矩陣。

同樣的，可以用排列相關矩陣描述各列間的統計相關，由文獻[8]的證明可以知道更接近于單位陣。可以按照中各列數據的大小順序重新排列矩陣，使得矩陣中兩個樣本的序差與矩陣中兩個樣本的序差相同，顯然矩陣的排列相關矩陣等于，從而矩陣各列間的統計相關可以得到一定程度的減小。上述過程反復迭代進行可以使排列相關矩陣越來越接近于單位陣，以達到對隨機排列的整數矩陣進行修正的目的。

4.3 算例分析

算例6.1：線性極限狀態函數為，其中各隨機變量相互獨立并服從標準正態分布，表61給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度估計結果，圖6.1、圖6.2分別給出直接Monte Carlo(MC)、Latin方抽樣(Latin hypercube sampling, LHS)以及修正的Latin方抽樣(updated Latin hypercube sampling, ULHS)三種不同方法均抽取600個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量均值的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖和估計值方差的直方圖。這里僅給出了失效概率對變量均值的可靠性試驗靈敏度的分析結果，失效概率對其他變量分布參數的可靠性試驗靈敏度與之類似。

 

表61 算例6.1的失效概率及其可靠性試驗靈敏度(Monte Carlo法抽樣107次)

估計值	0.239793	0.219698	0.219804	0.109844	0.109983

 

可靠性試驗靈敏度	可靠性試驗靈敏度	可靠性試驗靈敏度
(a)	(b)	(c)
圖6.1失效概率對x1均值的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖

備注：直方圖中的圖a、b、c分別表示對應于MC、LHS和ULHS三種方法所得到的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖，以下相同。

 

可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
圖6.2失效概率對x1均值的可靠性試驗靈敏度估計值方差的直方圖

 

對于此線性極限狀態函數算例，由失效概率對變量均值的可靠性試驗靈敏度估計值及其方差的直方圖容易看出，在樣本容量很小的情況下（本例抽樣600次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣比Monte Carlo法抽樣相同的次數得到的可靠性試驗靈敏度估計值更加集中、估計值方差的分散性更小。另外，比較圖6.2中的b、c兩圖可以看出，修正的Latin方抽樣比Latin方抽樣得到的可靠性試驗靈敏度估計值的方差的分散性更小。

算例6.2：非線性極限狀態，其中各隨機變量相互獨立并服從標準正態分布。表62給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度估計結果，圖6.3、圖6.4和圖6.5、圖6.6分別給出三種不同方法均抽取2000個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量的標準差和的標準差可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖及估計值方差的直方圖。

 

表62 算例6.2的失效概率及其可靠性試驗靈敏度（Monte Carlo法抽樣107次）

估計值	0.003630	-0.010182	0.003752	0.025697	0.004074

 

可靠性試驗靈敏度	可靠性試驗靈敏度	可靠性試驗靈敏度
(a)	(b)	(c)
圖6.3 失效概率對x1標準差的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖

 

可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
圖6.4 失效概率對x1標準差的可靠性試驗靈敏度估計值方差的直方圖

 

可靠性試驗靈敏度×10-3	可靠性試驗靈敏度×10-3	可靠性試驗靈敏度×10-3
(a)	(b)	(c)
圖6.5 失效概率對x2標準差的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖

 

可靠性試驗靈敏度×10-5	可靠性試驗靈敏度×10-5	可靠性試驗靈敏度×10-5
(a)	(b)	(c)
圖6.6 失效概率對x2標準差的可靠性試驗靈敏度估計值方差的直方圖

 

對于此非線性極限狀態函數算例，從圖6.3～圖6.6中的a、b兩圖的對比容易看出，Latin方抽樣比Monte Carlo抽樣相同的次數所得到的估計值更加集中、估計值方差的分散性更小；從圖6.3～圖6.6中的b、c兩圖的對比可以看出，當可靠性試驗靈敏度較大(如失效概率對變量的標準差可靠性試驗靈敏度)時，修正的Latin方抽樣比未修正的Latin方抽樣得到的估計值更加集中、估計值方差的分散性更小；當可靠性試驗靈敏度較小(如失效概率對變量的標準差可靠性試驗靈敏度)時，修正的Latin方抽樣得到的估計值的集中性和估計值方差的分散性并不比未修正的Latin方抽樣好，這是因為可靠性試驗靈敏度較小時，需要較大的樣本才能得到收斂的估計結果，但是樣本容量增加后修正的Latin方抽樣方法比之于未修正的Latin方抽樣法的優點將會降低。但是，不論可靠性試驗靈敏度大小如何，在樣本容量適中的情況下（本例抽樣2000次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣均比Monte Carlo法得到的估計值更加集中、估計值方差的分散性更小，在結構可靠性試驗靈敏度分析中Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣是一種高效的分析方法。

算例6.3：對于算例2.2的九盒段結構，采用MC、LHS和ULHS對其進行可靠性試驗靈敏度分析，表63給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率及其對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度估計結果，圖6.7和圖6.8分別給出三種不同方法均抽取800個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量的標準差可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖及估計值方差的直方圖。

 

表63 算例6.3的失效概率及其可靠性試驗靈敏度（Monte Carlo法抽樣107次）

估計值(×10-3)	-1.326	1.323	-1.324	0.332	9.782
估計值(×10-3)	1.564	1.568	1.557	0.368

 

可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4	可靠性試驗靈敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
圖6.7失效概率對變量P標準差的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖

 

可靠性試驗靈敏度×10-7	可靠性試驗靈敏度×10-7	可靠性試驗靈敏度×10-7
(a)	(b)	(c)
圖6.8失效概率對變量P標準差的可靠性試驗靈敏度估計值方差的直方圖

 

由此工程算例可以看出，用Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣得到的可靠性試驗靈敏度估計值更加集中、估計值方差的分散性更小。由圖6.7和圖6.8中b、c兩圖的對比容易看出，修正的Latin方抽樣所得到的可靠性試驗靈敏度估計結果更加穩定，這充分說明Latin方抽樣方法，特別是修正的Latin方抽樣方法在工程應用中是一種估算更加穩定、效率更高的可靠性試驗靈敏度分析方法。

算例6.4：串聯結構系統包含兩個失效模式，分別為，，其中的兩個基本隨機變量、均服從標準正態分布，表64給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度估計結果，圖6.9、圖6.10分別給出三種不同方法均抽取2000個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量標準差的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖及估計值方差的直方圖。

 

表64 算例6.4的失效概率及其可靠性試驗靈敏度(Monte Carlo法抽樣107次)

估計值	0.0027847	0.0025043	0.0076974	0.0068206	0.0198143

 

可靠性試驗靈敏度×10-3	可靠性試驗靈敏度×10-3	可靠性試驗靈敏度×10-3
(a)	(b)	(c)
圖6.9 失效概率對x1標準差的可靠性試驗靈敏度估計值的直方圖

 

可靠性試驗靈敏度×10-5	可靠性試驗靈敏度×10-5	可靠性試驗靈敏度×10-5
(a)	(b)	(c)
圖6.10 失效概率對x1標準差的可靠性試驗靈敏度估計值方差的直方圖

 

對于此多模式算例，由以上可靠性試驗靈敏度估計值及其方差的直方圖容易看出，在樣本容量較小的情況下（本例抽樣2000次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣比Monte Carlo法抽樣相同的次數得到的可靠性試驗靈敏度估計值更加集中、估計值方差的分散性更小。另外，比較圖6.9、圖6.10中的b、c兩圖可以看出，修正的Latin方抽樣比Latin方抽樣得到的估計值更加集中、估計值的方差的分散性更小。

綜合比較四個算例可以看出，抽樣的樣本數量越小Latin方抽樣估算結果穩定性好的優點越明顯。